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【在棱长为a正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,H分别是棱BB1,CC1,DD1的中点.求直线AF与平面A1EFD1所成角的正弦值】
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更新时间:2024-03-29 00:01:29
问题描述:

在棱长为a正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,H分别是棱BB1,CC1,DD1的中点.求直线AF与平面A1EFD1所成角的正弦值

程小劲回答:
  直线与平面夹角的正弦值就是直线与该平面法向量夹角的余弦值   所以我们以B1为坐标原点,B1A1为x轴,B1C1为y轴,B1B为z轴建立空间直角坐标系,设B1A1=2   A1(2,0,0)B1(0,0,0)C1(0,2,0)D1(2,2,0)   A(2,0,2)B(0,0,2)C(0,2,2)D(2,2,2)   E(0,0,1)F(0,2,1)G(2,2,1)   向量AF=(-2,2,-1)设平面A1EFD1的法向量n=(x,y,1)   法向量与这个平面的两条相交直线垂直   向量A1E=(-2,0,1)向量EF=(0,2,0)   -2x+0*y+1*1=0x=1/2   0*x+2y+1*0=0y=0   所以n=(1/2,0,1)=(1,0,2)   sin=cos=(-2*1+2*0+2*(-1))/[根号下((-2)^2+2^2+(-1)^2)*根号下(1^2+0^2+2^2)]=-4根号5/15
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