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设函数f(x)是周期为2012的连续函数.证明:存在ξ∈[0,2011]使得f(ξ)=f(ξ+1).
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更新时间:2024-03-03 14:17:36
问题描述:

设函数f(x)是周期为2012的连续函数.证明:存在ξ∈[0,2011]使得f(ξ)=f(ξ+1).

戚宜欣回答:
  记F(x)=f(x)-f(x+1),   由f(x)的性质知,F(x)是周期为2012的连续函数.   因为   F(0)+F(1)+…+F(2011)   =f(0)-f(1)+f(1)-f(2)+…+f(2011)-f(2012)   =f(0)-f(2012)=0,   ∃i∈{0,1,…,2011}使得F(i)=0,则取ξ=i即可;   否则,必然存在i,j∈{0,1,…,2011},使得F(i)•F(j)<0,   从而根据连续函数的零点存在定理可得,   存在ξ∈[0,2011],使得F(ξ)=0,   即:f(ξ)=f(ξ+1).
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