无限个有理数相加一定是有理数吗(可能是无理数吗)?“数学归纳法”是否有缺陷?

数学老师讲过：“无限个数的运算法则与有限个数是不同的.比如0+0=0,但是n个0相加不一定等于0,当n趋于无穷时,1/n=0,而n个1/n相加是1,而不是0,故“n个0相加等于0”这个命题只成立于有限个项的运算.所以无限个数的运算法则是不同于有限个数的.”

所以我总觉得“有限运算”与“无限运算”之间有着不可逾越的障碍.

可是“数学归纳法”正是有限与无限之间的纽带,它竟把二者联系了起来,那么它会不会有一定的缺陷呢?

以下这个问题困扰了我好久：

我们知道,两个有理数相加一定是有理数.(这个应该是真理吧?)

但是,无限个有理数相加一定是有理数吗?

①不一定.

因为任意一个小于1的正无理数都可以看做是无限个有理数an(n是角标)相加而得的.（其中an=A×10^-n,A∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},n∈N*）

比如：

取a1=3,a2=0.1,a3=0.04,a4=0.001,a5=0.0005……,按照π的数字将数列an写下去,易得an中所有数均为有理数

且lim(n→∞)Sn=π,得到了无理数.即无限个有理数相加可能得到无理数

②一定

可以用“数学归纳法”推出：

设无穷数列{a(n)}中所有项均为有理数,设该数列前n项和为S(n),

则：若S(k)为有理数,则有：S(k+1)=S(k)+a(k+1)

∵两个有理数相加一定是有理数

∴S(k+1)也是有理数

又∵S(1)为有理数

所以“S(n)为有理数”对任意n∈N*恒成立.

即：“无限个有理数相加一定是有理数”得证.

请问①与②哪个正确?

以上证明是否存在逻辑错误?

望高手指导,感激不尽!